Resumen

Uno de los problemas fundamentales en mecánica cuántica es encontrar soluciones a las ecuaciones de Schrödinger y Dirac que sean cuadráticamente integrables. Una forma de encontrar estas soluciones es usando la simulación por computadora. Para ello se requiere de tener un modelo matemático-computacional que nos ayude a tener los algoritmos sobre los cuales se ejecutará la simulación. Por consecuencia, el objetivo principal de esta tesis es encontrar este tipo de soluciones. Los paquetes de ondas se utilizan para formar soluciones cuadráticamente integrables. El paquete de ondas es una superposición de soluciones a las ecuaciones de onda, que corresponden al espectro del sistema. Además, los paquetes de onda permiten estudiar el comportamiento de los sistemas cuánticos. Debido a que un paquete de onda se plantea como la superposición de estados base, la solución obvia es usar sumas y/o integrales de Riemann, dependiendo del espectro del sistema. Sin embargo, la tarea de encontrar, identificar y manejar el espectro es difícil. Una solución a este problema es trabajar el espectro mediante la función de densidad espectral p y construir el paquete de ondas como una integral de Stieltjes, donde p es la función integradora. Esto tiene la ventaja de que no se calcula el espectro ni tiene importancia si el sistema tiene espectro discreto o continuo.
En este trabajo de tesis desarrollamos un método matemático para obtener a la función de densidad espectral. Para ello, aprovechamos la relación que existe entre la función p y la función m de Weyl-Titchmarsh, que aparece en el problema singular de Sturm-Liouville, para calcular a la función de densidad espectral y construir los paquetes de onda como integrales de Stieltjes. Debido a que encontrar a la función m no es una tarea sencilla y como la funciónmtiene la forma de una transformación de Möbius; podemos aprovechar las propiedades geométricas en el plano complejo que esta transformación tiene para obtener las propiedades al infinito y en el eje real de la función m en el dominio de valores propios. De esta forma podemos deducir el comportamiendo de las soluciones del problema singular de Sturm-Lioville que permitan contruir la función m de Weyl-Titchmarsh. Este enfoque tiene la ventaja de poder describir con mayor precisión las características asintóticas de las soluciones que forman a la función m, y además de que incorporamos el soporte matemático que hay en la teoría de Wely para ayudar a explicar el comportamieto de los paquetes de onda. Probamos el método propuesto realizando simulaciones en sistemas cuánticos sencillos que tienen espectros discretos y espectros continuos y los resultados que se obtienen son similares a los que se manejan en la literatura.

Obtaining square integrable solutions to Schrodinger and Dirac equations is a fundamental problem in quantum mechanics. One way to obtain this solutions is using computer simulation. To do this, you must have a mathematical computational model that helps us to describe the algorithms on which the simulation is run. Accordingly, the main objective of this thesis is to find such solutions. The wave packets are used to build square integrable solutions.A wave packet is a superposition of the solutions to the wave equations corresponding to the spectrum of the system. Moreover, the wave packet allows to study the behavior of quantum systems. Since a wave packet is the superposition of states, the obvious solution is to use Riemann sums and/or Riemann integrals depending on the spectrum of the system. However, the task to obtain, identify and manage the spectrum is difficult. One solution to this problem is to manage the spectrum using the spectral density function p and build the wave packet as a Stieltjes integral. t is important neither to compute the spectrum nor to know its type to build wave packet.
In this thesis we developed a mathematical method to obtain the spectral density function p. To do this we use the relationship between p and the Weyl-Titchmarsh mfunction to compute the spectral density function. With this function we can build the wave packets. The m-function appear in the Weyl theory or singular Sturm-Liouville problem. Since the m function is difficult to calculate and the m function and how this function is a Möbius transformation, we can use the geometric properties of the Möbius transformation on the complex plane to obtain the properties at infinity and in the real axis of the Weyl-Titchmarsh m-function. This approach has the advantage of being able to describe more accurately the asymptotic characteristics of solutions that are in a m-function, and that incorporates the mathematical support of theWely theory to help to explain the behavior of the packets wave. We tested the proposed method by simulations in simple quantum systems and the results were similar to those in the literature.