Tópicos Selectos en Computación Científica I
Objetivo:
Estudiar la teoría y los métodos matemáticos-computacionales para la resolución de algunos problemas de ingeniería, física, química y biología. Se hace énfasis en ecuaciones lineales de orden N y sistemas ecuaciones diferenciales de primer orden. Abordando el problema de condiciones iniciales y el problema de valores a la frontera. El problema de Sturm-Liouville es tratado como un problema de valores a la frontera regular y como un problema de valores propios. Se estudia el método de Monte Carlo para simulación y solución de algunos problemas cientifícos y de Ingeniería.
Contenido:
- Espacios lineales y grupo de matrices
- Geometría de los espacios lineales
- Espacios lineales con producto interior
- Espacio euclidiano, unitario
- Espacio, espacio-tiempo de Minkowsky y espacio simpléctico
- Estructura de matrices
- Espacio vectorial de matrices
- Polinomios de matrices
- Problema de valores propios
- Grupo de matrices
- El grupos general y subgrupos
- Topologías de grupos de matrices y grupos de matrices de Lie
- Herramienta básica del algebra lineal
- Representación y solución de sistemas lineales
- Factorización LU
- Sistema tridiagonal y pentagonal de ecuaciones
- Solución al problemas de valores propios
- Ecuaciones diferenciales ordinarias
- El problema de valores inciales de EDO
- El método de Picard
- Ecuaciones diferenciales de orden N
- Sistemas de ecuaciones diferenciales
- El problema de valores a la frontera y de Sturm-Liouville
- Problema regular de Sturm-Liouville
- Problema singular de Sturm-Liouville
- Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales
- Métodos para el problema de valores iniciales
- Métodos de diferencias finitas
- Método de Euler
- Método de Runge-Kutta
- Método de extrapolación
- Computación de la exponencial matricial
- Métodos para el problema de valores a la frontera
- Método de "Shooting"
- Método de equilibrio
- El problema de valores propios
- Método Monte Carlo
- Generación de números aleatorios
- Generación de diversas variables aleatorias continuas
- Generación de diversas variables aleatorias discretas
- Pruebas Estadísticas
- Importancia de muestreo
- Experimentación y modelos
- Modelos basados en ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Ecuación Bessel
- Ecuación de Laguerre
- Ecuación de Legendre
- Ecuación de Tchevychev
- Ecuación de Lotka-Volterra
- Ecuación de Schršodinger
- Ecuación de Dirac
- Modelos basados en Monte Carlo
- Cadenas de Markov
- Integración numérica via método Monte Carlo
- Camino aleatorio y movimiento browinano
- Integrales de Wiener
- Integrales de Ito
- Integrales de Feyman
Bibliografía:
- Sergio V. Chapa Vergara, Harold V. McIntosh; "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Teoría de Weyl, Tomo I: Ecuaciones Diferenciales Escalares y Problema de Sturm- Liouville"; Ed. Lagares, México D.F. 2005.
- Sergio V. Chapa Vergara, Harold V. McIntosh, Amilcar Meneses Viveros; "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Teoría de Weyl, Tomo III: Teoría de Weyl y aplicaciones a la mecánica cuántica"; por publicar.
- Bernd Thaller; "Visual Quantum Mechanics"; Springer-Verlag, July 2000.
- Bernd Thaller; "Advanced Visual Quantum Mechanics" Springer-Verlag, 2005.
- David P. Landau, Kurt Binder; "A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics"; Cambridge University Press; 2000.
- J.D. Hoffman; "Numerical Methods for Engineers and Scientists"; Marcel Dekker; Second Edition, 2001.
- S.E. Arge, A.M. Bruaset, H.P. Langtangen; "Modern Software Tools for Scientific Computing" ; Birkhäuser; 1997.
- Dæhlen, A. Tveito; "Numerical Method and Software Tools in Industrial Mathematics"; Birkäauser; 1997.